문제 1-4의 풀이

$$f'(x)=g(x,\phi(x))\phi'(x)-g(x,\psi(x))\psi'(x)+\int_{\psi(x)}^{\phi(x)} {D_1g(x,y)dy}$$

다음에 문제 1-4의 풀이를 올려주세요.

$$D = \{(x,y)| a \leq x \leq b, \psi(x) \leq y \leq \phi(x)\}$$에서 $$(P,Q)=(0,g(x,y))$$에 그린정리를 적용하면

$$\iint_{D} D_1 g(x,y) dA = \int_{\partial D} g(x,y) dy$$

$$\int_{a}^{b}\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}D_1 g(x,y) dydx = -\int_{\psi(a)}^{\phi(a)} g(a,y) dy + \int_{x=a}^{x=b}g(x,\psi(x))dy + \int_{\psi(b)}^{\phi(b)} g(b,y) dy - \int_{x=a}^{x=b}g(x,\phi(x))dy $$

$$\int_{a}^{b}\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}D_1 g(x,y) dydx = -f(a) + \int_{x=a}^{x=b}g(x,\psi(x)){dy \over dx} dx +f(b) - \int_{x=a}^{x=b}g(x,\phi(x)){dy \over dx} dx $$

$$\int_{a}^{b}\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}D_1 g(x,y) dydx = -f(a) + \int_{x=a}^{x=b}g(x,\psi(x))\psi'(x) dx +f(b) - \int_{x=a}^{x=b}g(x,\phi(x))\phi'(x) dx $$

양변을 $$(b-a)$$로 나누고 $$b \rightarrow a$$의 극한을 취하면

$$\int_{\psi(a)}^{\phi(a)}D_1 g(a,y) dy = f'(a) + g(a,\psi(a))\psi'(a) - g(a,\phi(a))\phi'(a) $$

$$a$$를 $$x$$로 바꾸고 이항하면 주어진 식을 얻는다.

--허운 (talk) 13:58, October 29, 2015 (UTC+9)

세 번째 줄에 dy라고 쓴 것을 명확하게 표기하지 않은 것을 제외하면 큰 문제점이 안 보여요... 그것마저도 틀렸다기보다는 불명확한 것에 가까운데..

$$\int_{a}^{b}\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}D_1 g(x,y) dydx = -\int_{\psi(a)}^{\phi(a)} g(a,y) dy + \int_{x=a}^{x=b}g(x,\psi(x))d{\psi(x)} + \int_{\psi(b)}^{\phi(b)} g(b,y) dy - \int_{x=a}^{x=b}g(x,\phi(x))d{\phi(x)} $$

정도로 바꾸면 되지 않을까요? --Totie97 (talk) 11:25, December 7, 2015 (UTC) : 김재형