그린정리를 이용한 등주정리의 기술

다음에 그린정리를 이용하여 등주정리를 어떻게 기술할 수 있을지 적어주세요.

둘레의 길이 L, 넓이가 A인 폐곡선을 C라 하자. 폐곡선 C의 xy 평면에서의 정의역을 [a,b]라고 할 때, -x축 방향으로 $$\frac{a+b}{2}$$만큼 평행 이동 시킨 폐곡선 C'을 생각하자. C'의 정의역은 $$ [-r,r] (r=\frac{a+b}{2})$$이 된다. 이제, 폐곡선 C'에 대해 등주정리가 성립함을 보이면 충분하다. 폐곡선 C를 호의 길이로 매개화하여 $$C : (x(s),y(s)) (0 \leq s \leq L)$$ 로 표현하자. 호의 길이로 매개화하였기 때문에 $$1=(x'(s))^2+(y'(s))^2 $$이 성립한다. 원점을 중심으로 하고 반지름이 r인 원 D를 폐곡선 C의 호의 길이 s로 매개화하여 $$D : (x(s),z(s)) (0 \leq s \leq L)$$와 같이 표현하자. $$(x(s),z(s))$$는 원 D 위의 점이므로 $$x(s)^2+z(s)^2=r^2 $$ 한편, 그린 정리에 의해 폐곡선 C의 넓이는 $$A=\int_{C} {xdy}=\int_{0}^{L} {x(s)y'(s)ds}$$로 나타낼 수 있다. 원 D의 넓이 또한  그린 정리에 의해 $$\pi r^2=-\int_{D} {zdx}=-\int_{0}^{L} {z(s)x'(s)ds}$$이다. 따라서, $$A+\pi r^2=\int_{0}^{L} {x(s)y'(s)ds}-\int_{0}^{L} {z(s)x'(s)ds}=\int_{0}^{L} {(xy'-zx')ds}$$ Cauchy-Schwarz 부등식에 의해 $$(xy'-zx')^2 \leq (x^2+z^2)((y')^2+(x')^2)$$이며, $$(xy'-zx') \leq r$$ 이에 적분을 적용하면 $$\int_{0}^{L} {(xy'-zx')ds} \leq \int_{0}^{L} {r ds}=rL $$ 또한, 산술 기하 부등식에 의해 이 성립한다. $$2r \sqrt{A \pi} \leq rL$$ $$A \leq \frac{L^2}{4 \pi}$$

 --Mijukmijuk (talk) 14:46, December 1, 2015 (UTC)

부등식이 성립할 등호조건을 확인해 보겠다. 등호조건은 위의 코시-슈바르츠 부등식과 산술 기하 부등식의 등호를 만족시켜야 된다. $$(xy'-zx')^2 \leq (x^2+z^2)((y')^2+(x')^2)$$$$A+\pi r^2 \geq 2r \sqrt{A \pi}$$ 즉, $$A= \pi r^2$$이고 $$x(s)x'(s)=y'(s)z(s)$$인데원 D를 표현하는 식 $$x(s)^2+z(s)^2=r^2$$의 양변을 s에 대해 미분하면

$$2x(s)x'(s)+2z(s)z'(s)=0$$ $$x(s)x'(s)=-z(s)z'(s)$$

정리하게 되면 $$y'(s)=-z'(s)$$이고 $$y(s)=-z(s)+c$$(c는 상수) $$C : (x(s),-z(s)+c (0 \leq s \leq L)$$ $$x(s)^2+(y(s)-c)^2=r^2$$즉, 폐곡선 C가 반지름이 $$\frac{L}{2 \pi}$$인 원일 때에만 등호가 성립한다.

-3310박해민