비르팅거의 증명 시도하기

비르팅거의 부등식

$$\int_{0}^{2\pi} ( f ( \theta) - \bar{f})^2 d \theta \le \int_{0}^{2 \pi} (f'(\theta)^2 )d \theta $$

단, 등호는 적당한 실수 $$ a, b$$에 대하여 $$f(\theta) = \bar{f} + a cos \theta + b sin \theta$$ 일 때 성립한다.

다음에 비르팅거의 부등식의 증명을 올려주세요 $$ g(\theta)=f(\theta)-\bar{f}(\theta) $$ 라고 하자

$$ \bar{f}(\theta) $$ 의 정의에 의해 $$ \int_{0}^{2\pi} g(\theta) d \theta=0 $$ 이다.

$$ g'(\theta)=f'(\theta) $$ 이므로  $$\int_{0}^{2\pi} (g'(\theta)^2) d \theta $$ $$ \geq $$  $$\int_{0}^{2\pi} (g(\theta)^2) d \theta $$ 임을 보이면 된다.

디리클렛 조건을 만족하면,

$$ g(\theta)=\frac{1}{2} a_0 + \sum_{n \geq 1}^\infty (a_n \frac{sinnx} {\sqrt{\pi}}+ b_n\frac{cosnx} {\sqrt{\pi}}) $$ 이다.

여기서  $$ \int_{0}^{2\pi} g(\theta) d \theta=0 $$ 임을 통해 $$ a_0 $$ 가 0임을 알 수 있다.

따라서,  $$\int_{0}^{2\pi} (g(\theta)^2) d \theta = \sum_{n \geq 1}^\infty (a_n^2+b_n^2) $$  이다.

마찬가지로 하면

$$\int_{0}^{2\pi} (g'(\theta)^2) d \theta = \sum_{n \geq 1}^\infty n^2(a_n^2+b_n^2) $$  이다.

따라서,  $$\int_{0}^{2\pi} (g'(\theta)^2) d \theta $$ 는     $$\int_{0}^{2\pi} (g(\theta)^2) d \theta $$ 이상이고, 등호는 $$ n \geq 2 $$ 일때 $$ a_n=b_n=0 $$ 성립한다.

스님 작성

등주정리를 이용한다. C를 $$x=\int_{0}^{t} {f(s) ds}, y=f(t), 0 \leq t \leq 2\pi$$로 정의. C가 폐곡선임을 보인다. f에서 상수를 빼도 미분은 변하지 않으므로 일반성을 잃지 않고 $$\int_{0}^{2\pi} {f(\theta) d\theta}=0$$ 라 가정.

C에서 $$x(0)=x(2\pi)=0, y(0)=f(0)=f(2\pi)=y(2\pi)$$

성립.

곡선 C에 등주정리를 적용하면, $$\int_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \frac{\left\{\int_{0}^{2\pi} {\sqrt{\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2}dt}\right\}^2}{4\pi}$$

Cauchy-Schwartz 부등식 $$ \frac{\left\{\int_{0}^{2\pi} {\sqrt{\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2}dt}\right\}^2}{4\pi} \leq \frac{\left(\int_{0}^{2\pi} {\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2 dt}\right)\left(\int_{0}^{2\pi} 1 {dt}\right)}{4\pi}$$

따라서, $$\int_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \frac{\int_{0}^{2\pi} {\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2 dt}}{2}$$이고 $$\int_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \int_{0}^{2\pi} {\left\{f'(t)\right\}^2 dt}$$

등호조건은 C가 등주 정리의 등호조건을 만족하며, 부등식의 등호조건에서 $$\left(f(x)\right)^2+\left(f'(x)\right)^2$$가 상수일 때이다. 즉, $$\left(\int_{0}^{2\pi} {f(x)}\right)^2+\left(f(x)\right)^2=C_1, \left(f(x)\right)^2+\left(f'(x)\right)^2=C_2$$

등호조건: $$2f(x)\left(f'(x)+\int_{0}^{2\pi} {f(x)}\right)=0$$ 따라서, $$f(x)=-f''(x)$$이므로 $$f(\theta)=acos(\theta+b)$$

앞서 상수를 빼주는 과정이 있었으므로 $$f(\theta)=acos(\theta+\phi)+b$$ --Mijukmijuk (talk) 14:33, December 1, 2015 (UTC)