비르팅거의 부등식을 이용하여 등주정리의 증명 시도하기

다음에 등주정리의 증명을 시도하여 주세요; 넹^^ $$C : x=\int_{0}^{t} {f(s) ds}, y=f(t), 0 \leq t \leq 2\pi$$ 라고 하자. 함수 f는 주기가 $$2\pi$$이며 $$\int_{0}^{2\pi} {f(\theta) d\theta}=0$$를 만족하므로 정의한 곡선 C에서 $$x(0)=x(2\pi)=0, y(0)=f(0)=f(2\pi)=y(2\pi)$$가 성립한다. 즉, 곡선 C는 폐곡선이 된다. 

곡선 C에 등주정리를 적용하면, $$\int_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \frac{\left\{\int_{0}^{2\pi} {\sqrt{\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2}dt}\right\}^2}{4\pi}$$ ($$ A \leq \frac{{L}^2}{4\pi} $$ 이기 때문) 코시-슈바르츠 부등식으로 인해 $$ \frac{\left\{\int_{0}^{2\pi} {\sqrt{\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2}dt}\right\}^2}{4\pi} \leq \frac{\left(\int_{0}^{2\pi} {\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2 dt}\right)\left(\int_{0}^{2\pi} {dt}\right)}{4\pi}$$  따라서, $$\int_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \frac{\int_{0}^{2\pi} {\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2 dt}}{2}$$이고 $$\int_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \int_{0}^{2\pi} {\left\{f'(t)\right\}^2 dt}$$ 

Wirtinger's Inequality의 등호조건은 곡선 C가 등주 정리의 등호조건을 만족하며, 코시-슈바르츠 부등식의 등호조건에서 $$\left(f(x)\right)^2+\left(f'(x)\right)^2$$가 상수일 때이다.  즉, $$\left(\int_{0}^{2\pi} {f(x)}\right)^2+\left(f(x)\right)^2=C_1 ....(1), \left(f(x)\right)^2+\left(f'(x)\right)^2=C_2....(2)$$

(1)식을 x에 대해 미분하면 $$2f(x)\left(f'(x)+\int_{0}^{2\pi} {f(x)}\right)=0$$  따라서, $$f(x)=-f''(x)$$이므로 $$f(\theta)=acos(\theta+b)$$

- 스님 (talk) 12:04 November 24, 2015 (UTC)