동치임을 증명하기

간단히 서술하자면

평면도형에 대한 닮음변환을 정의할 수 있고,

닮은 두 도형에서 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같고 넓이의 비는 닮음비의 제곱과 같음을 보일 수 있다.

둘레의 길이가 일정한 평면도형들의 집합과 넓이가 일정한 평면도형의 집합 사이에 일대일대응이 존재하고

이는 닮음변환에 기반하여 정의된다.

그러므로 이 일대일대응은 등주몫을 보존하는 것을 알 수 있고,

나아가 I, II, III이 모두 동치임을 보일 수 있다.

더 자세하고 엄밀한 증명은 다음 사람에게 맡긴다.

--허운 (talk) 10:55, October 25, 2015 (UTC+9)

I<=>II

둘레의 길이가 $$L$$ 인 도형의 넓이의 최댓값을 $$A=CL^2$$이라 하자(닮음인 도형에 대

해서 넓이의 비는 닮음비의 제곱이다). $$A$$의 치역은 모든 양의 실수이므로 이는 일대일 함수이

고, 따라서 넓이가 $$A$$인 도형의 둘레의 길이의 최솟값은 $$L= \sqrt{\frac{A}{C}}$$

이고, 이 때 도형은 넓이가 최대인 도형과 같은 도형임을 알 수 있다. 일대일 함수임에서 역도 성립함을 알

수 있다.

I<=>III

III=>I은 자명하다.

I이 성립한다면 원에서 C의 값이 최대이고, 따라서 등주몫 $$ \frac{4 \pi A}{L^2}$$의 최댓값은

원일 때에 $$4 \pi C=1$$이다.

따라서 I<=>II<=>III이 성립한다.

--Ghdrnjs2 (talk) 02:30, November 2, 2015 (UTC)

위의 두 풀이에서 닮음변환을 계속 언급하고 있는데, 닮음변환을 정확히 어떻게 정의해야 할 지가 조금 애매한 것 같다.

그래서

1과 2가 동치인 것을 증명하기 위해, ~1이면 ~2이고, ~2이면 ~1인 것을 증명하면 매우 쉽다.

A) ~1이면 ~2인 것에 대한 증명

~1이므로, 둘레 L인 도형 중 원의 면적(A)이 최대가 아니다. 따라서 둘레 L인 도형 중 면적이 $$A+\delta A$$인 도형이 존재한다. ($$\delta A>0$$) 한편, 면적 $$A+\delta A$$인 원의 둘레는 L보다 크다. 따라서 면적 $$A+\delta A$$인 도형 중 원의 둘레가 최소가 아니다.

B) ~2이면 ~1인 것에 대한 증명

~2이므로, 면적 A인 도형 중 원의 둘레(L)가 최소가 아니다. 따라서 면적 A인 도형 중 둘레가 $$L-\delta L$$인 도형이 존재한다. ($$\delta L>0$$) 한편, 둘레 $$L-\delta L$$인 원의 면적은 A보다 작다. 따라서 둘레 $$L-\delta L$$인 도형 중 원의 면적이 최대가 아니다.

--Juutilainen (talk) 11:58, December 4, 2015 (UTC) 각 도형을 모두 XY좌표계 위에 올려놓고, 평행 이동하여 무게 중심이 원점이 되게 한다. 이 때 원점을 중심으로 확대, 축소 변환하면 등주값을 일정하게 보존하면서 L의 값을 원하는 값으로 설정 할 수 있다.

적절히 확대 혹은 축소 변환하여 L을 일정한 값 1로 고정시키고 생각하자. 이때, 1,2,3 모두 L이 1인 상태에서 넓이가 최대인 도형이 원이라는 것이므로 모두 동치이다.