풀이 2-4

S는 $$\bold r (u, v)$$로 parametrized 되어 있는 oriendted surface이다. $$d {\bold \sigma} $$이 S에 수직이도록 $$d {\bold \sigma} = {\bold r}_u du \times {\bold r}_v dv$$라고 정의하자. 다음을 보여라. $$ d \sigma = \vert d {\bold \sigma} \vert = (EG-F^2)^{1/2} dudv$$

단, $$E= \vert {\bold r}_u \vert^2, F= {\bold r}_u \cdot {\bold r}_v, G= \vert {\bold r}_v \vert ^2 $$ 이다.

아래에 풀이를 쓰시오.

풀이 일반적으로 두 벡터 $$\bold u$$와 $$\bold v$$에 대해서

$$\vert \bold u \cdot \bold v \vert^2 + \vert \bold u \times \bold v \vert^2 = \vert \bold u \vert^2 \vert \bold v \vert^2$$

이 성립함이 알려져 있고, 이 사실을 벡터 $${\bold r}_u$$와 $${\bold r}_v$$에 대해 적용하면 결론이 쉽게 증명된다. --Gjlee0325 (talk) 11:29, November 29, 2015 (UTC)

사실 du, dv 등을 scalar처럼 다루는 것이 가능한지는 잘 모르겠습니다만, (뭔가 미분기하학에 관련된 내용이 있다고 주워듣기는 했지만...)

$$\vert d {\bold \sigma} \vert = (EG-F^2)^{1/2} dudv$$ 와 같이 주장하고자 한다면,

$$dudv\geq0$$이라는 조건이 주어져야 하지 않는가 싶습니다. Juutilainen (talk) 11:29, December 4, 2015 (UTC)