풀이 2-2

oriented surface S로 둘러싸인 영역 D위에서 $$\nabla \cdot \bold F_1 = \nabla \cdot \bold F_2$$ 이고  $$\nabla \times \bold F_1 = \nabla \times \bold F_2$$ 이다. 또한 S 위에서 outward unit normal $$\bold n$$에 대하여 $$\bold F_1 \cdot \bold n = \bold F_2 \cdot \bold n$$이다. D 전체에서 $$\bold F_1 = \bold F_2$$임을 증명하여라.

아래에 풀이를 쓰시오.

풀이

F=F1 - F2 라고 하자.

F는 divergence 값과 curl 값이 0이고 S 위에서 면벡터 방향의 성분 또한 없다.

풀이 2-3에 언급되어 있는 것과 같이 F는 divergence, curl 값이 0이기 때문에 상수 벡터이지만(F=c, c는 상수)

c가 0이 아니라면 S 위에 면벡터 방향의 성분이 0이 될 수 없기 때문에 모순이다.

(영역 D는 닫힌 공간이기 때문에 직관적으로 S 의 면벡터들은 모든 방향을 다 가질 수 있다).

F를 물리에 있는 벡터장 전기장과 대응시키자.

원래 정전기적 상황에서 (curl)E=0 이고,

(divergence)E=0이므로 영역 D 안에는 전하가 분포되어 있지 않다.

영역 D 만큼만 뚫려 있고, 나머지는 도체로 채워져있다고 생각하고, 도체는 대전되어 있지 않다고 생각하면 문제의 상황과 같은 상황을 만들 수 있고, 이 때 전기장은 0이다.

현슈가 품 ^^

위의 풀이에서 전기장으로 대응시키는 것이 가능한지 잘 모르겠다. 전기장은 모든 영역에서 curl이 0이 되어서 모든 영역에서 conservative한데 지금 F의 curl이 0인 영역은 D뿐이라 같은 논리는 적용하지 못할 것 같다. 내가 아는 바로는 전자기학에서 라플라스 방정식을 만족하는 퍼텐셜이 있을 때, 어떤 폐곡면에서의 포텐셜 값이 정해지면 퍼텐셜 함수가 유일하게 존재했던 것 같은데, 그렇게 하려면 모든 영역에서 라플라스방정식을 만족하는 것부터 보여야 똑같이 풀 수 있는 것 같다. --Mijukmijuk (talk) 15:06, December 1, 2015 (UTC)

벡터장 F의 회전과 발산, 그리고 적절한 경계조건이 주어진다면 F를 결정할 수 있습니다. (헬름홀츠 정리) 따라서 F_1 = F_2입니다.

+Helmhotz theorem이 말하는 바는 상당히 (직관적으로는) 자명합니다. 결국 미분방정식의 경계조건이 주어졌을 때 해가 결정된다는 소리이기 때문입니다.

+다만 엄밀한 증명은 상당히 복잡하므로, "Introdution to Electrodynamics(Griffiths 저)"의 부록 B 혹은 https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition 를 참조하십시오.

+현슈 학생의 풀이에서 "F는 divergence, curl 값이 0이기 때문에 상수 벡터이지만(F=c, c는 상수)"라고 하였는데, divF=curlF=0이면서 F가 상수벡터함수가 아닐 수도 있습니다.

+딱 문제 2-2의 상황에 적용할 수 있는 간단한 풀이가 있을 것 같은데, 모르겠네요 ㅠㅠ

Juutilainen (talk) 11:22, December 4, 2015 (UTC)