문제1-1의 풀이

다음 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오. (가능한 다양한 방법을 모두 제시하시오.)

Headline text
$$x=a cos \theta, y= b sin \theta$$​r = atcos θ  i + btsin θ           0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤  θ  ≤ 2π 라하고 적분하면 된다

| (ar/at) × (ar/a θ)  | = abt 이므로 integral(abt) dtd θ  를 위의 범위서 계산하면 πab가 나온다

수식을 어떻게 치느지 모르겠어요..............

-3310박해민

풀이를 적고 사인버튼과 수평선 줄긋기 버튼을 눌르시오. --Ss2003 (talk) 23:50, October 20, 2015 (UTC)

$$\ x=a cos \theta, y= b sin\theta $$ 이므로

$$\ (Area)=2\int_{\theta=\pi}^{\theta=0} ydx $$

$$\ (Area)=2\int_{\theta=\pi}^{\theta=0} -ab (sin\theta)^2 d\theta $$

$$\ (Area)=\pi ab $$

--스님 (talk) 00:28, October 21, 2015 (UTC)

$$D=\{(x, y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leq1\}$$ ,

$$(u, v) = T(x, y) = (ax, by)$$ 라 하면

구하는 넓이 S는

$$S = \iint_{T(D)}dA$$

$$=\iint_{D}\left|{\partial(u, v)\over\partial(x,y)}\right|dA$$

$$=\iint_{D}\begin{vmatrix}a&0\\0&b\end{vmatrix}dA$$

$$=\pi ab$$

P.S. 수식 입력 쉽게 하는 방법 없나요

--허운 (talk) 10:19, October 25, 2015 (UTC+9)

그린 정리를 쓴다

$$ P(x,y)=-\frac{1}{2}y, Q(x,y)=\frac{1}{2}x $$ 이면 $${{\partial Q} \over{\partial x}}-{{\partial P} \over{\partial y}} = 1$$

즉,

$$\ A= \iint\limits_D \ ({{\partial Q} \over{\partial x}}-{{\partial P} \over{\partial y}}) dA $$

$$= \frac{1}{2} \oint_{C} x dy - y dx $$

$$= \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} (a cos\theta)(b cos\theta) d\theta - (b sin\theta)(-a sin\theta) d\theta $$

$$= \pi ab $$

미적미적 --Mijukmijuk (talk) 05:30, November 2, 2015 (UTC)

직관적으로 x=a*cos(theta), y=a*sin(theta)는 반지름이 a인 원이고, 넓이는 파이*a^2이다.

그런데 문제에선 y=b*sin(theta)이므로 y 방향을 b/a 로 줄이는 일차변환(사영)이라고 생각이 가능하고, 넓이는그러면 (파이*a^2)*(b/a) = 파이* a*b 가 되어서 증명된다.

현슈가씀^^

타원 방정식을 x, y에 관하여 세운 후, y를 x에 대한 식으로 표현한다. 이 식은 y가 양수일 때 타원 함수이므로 이 식을 x에 대하여 -a부터 a까지 정적분한 후 2배를 하면 타원의 넓이가 파이 ab임을 보일 수 있다.--Rudgn3439 (talk) 03:48, December 2, 2015 (UTC)