풀이 2-1

-- $$f(x, y, z)$$와 $$g(x, y, z)$$는 경계가 $$C$$인 oriented surface $$S$$위에서 정의된 continuously differentiable scalar function이다. 다음을 증명하여라.

$$\iint_S (\nabla f \times \nabla g) \cdot \bold n dS = \oint_C f \nabla g \cdot d \bold r $$

아래에 풀이를 쓰시오.

풀이

벡터장 $$\bold F=f \nabla g$$로 정의하자. 이 벡터장과 주어진 $$S$$와 $$C$$에 대해 스토크스 정리를 적용하면, 결국 보여야 할 명제는

$$\nabla \times \bold F = \nabla f \times \nabla g$$

인데, 간단하게 $$x$$성분만 살펴보면 좌변의 경우 Clairaut's Theorem을 적용하면,

$${{\partial} \over {\partial y}} ( f {{\partial g} \over {\partial z}} ) - {{\partial} \over {\partial z}} ( f {{\partial g} \over {\partial y}} ) = {{\partial f} \over {\partial y}} {{\partial g} \over {\partial z}} - {{\partial f} \over {\partial z}} {{\partial g} \over {\partial y}} $$

로 정리되어 우변과 같아짐을 알 수 있고, 결론이 성립한다.

--Gjlee0325 (talk) 15:53, November 28, 2015 (UTC)

$$ \nabla \times (f \bold E) = \nabla f \times \bold E + f \nabla \times \bold E $$ 이고, (식1)

$$ \nabla \times \nabla g = 0 $$

이기 때문에 증명됨

(식1) 은 levi-civita 를 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

핳핳핳 (talk) 05:35, December 1, 2015 (UTC)